माना AB = l दिया गया रेखाखण्ड है तथा OX, OY दीर्घवृत्त के निर्देशांक अक्ष है |
यदि `OA = a , OB = b`
तो `A -= A(a, 0)` तथा `B -= (0,b)`
बिन्दु कोई बिन्दु `P(h, k)` रेखा AB को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करती है |
तब `h = (1*0 + 2*a)/(1+2) = (2a)/(3) rArr a = (3h)/(2) " "...(i)`
`k = (1*b + 2*0)/(1+2) = (b)/(3) rArr b = 3k" "...(ii)`
अब `triangle OAB` में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर,
`OA^(2) + OB^(2) = AB^(2)`
`rArr a^(2) + b^(2) = l^(2)" "...(iii)`
समीकरण (i) व (ii) का प्रयोग समीकरण (iii) में करने पर,
`(9h^(2))/(4) + 9k^(2) = l^(2)`
`rArr 9h^(2) + 36k^(2) = 4l^(2)`
`therefore P(h, k)` का बिन्दुपथ `9x^(2) + 36y^(2) = 4l^(2),`
यही दीर्घवृत्त का अभीष्ट समीकरण है |
