Question

एक समतल में 10 बिंदु हैं, इसमें कोई भी तीन एक सरल रेखा पर स्थित नहीं हैं केवल उन 4 बिन्दुओं को छोड़कर जो संरेखीय हैं । ज्ञात कीजिए -
(i) बिन्दुओं के युग्म से बनने वाली सरल रेखाओं की संख्या ।
(ii) इन बिन्दुओं को शीर्ष बनाने वाले त्रिभुजों की संख्या ।

Answer 1

(i) 10 बिंदुओं से 2-2 बिंदु लेकर बनने वाली सरल रेखाओं की संख्या
`= ""^(10)C_(2) = (10!)/(2! xx 8!) = 45`
4 संरेखीय बिंदुओं में से एक समय 2-2 में लेने पर,
बनने वाली सरल रेखाओं की संख्या `= ""^(4)C_(2) = (4!)/(2!2!) = 6`
किन्तु 4 संरेखीय बिंदु, एक ही सरल रेखा बनायेंगे।
`:.`कुल वांछित सरल रेखाओं की संख्या `= 45 - 6 + 1 = 40`
(ii) 10 में से 3 बिंदुओं में बिंदुओं को एक - एक साथ लेने पर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या
`= ""^(10)C_(3) = (10!)/(3! xx 7!) = 120`
4 बिंदुओं में से 3 लेकर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या
`= ""^(4)C_(3) = 4`
`:.` चारों संरेखीय बिंदुओं में से लेने पर त्रिभुज नहीं बन सकता
इसलिए, वांछित त्रिभुजों की कुल संख्या `= 120 -4 = 116`