Question

पहले छः धनात्मक पूर्णाकों में से तीन संख्याएँ यादृच्छिक रूप से (बिना प्रतिस्थापन के) चुनते है | माना X प्राप्त तीन संख्याओं में सबसे बड़ी को निरूपित करता है | X का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए |X का माध्य तथा प्रसरण ज्ञात कीजिए |

Answer 1

पहले छः धनात्मक पूर्णाकों में से तीन धनात्मक पूर्णाक (बिना बदलाव के) प्रकार से चुने जा सकते है |
`""^(6)C_(3)` प्रकार से चुने जा सकते है |
`=(6xx5xx4)/(3xx2xx1)`
=20 प्रकार
अब, प्रत्येक चयन 3! प्रकार से व्यवस्थित किया जा सकता है |
कुल परिणामों की संख्या `=20xx3! = 120`
दिया है, X तीन धनात्मक पूर्णाकों में सबसे बड़ा है | इसलिए, यादृच्छिक चर X की 3,4,5 या 6 मान हो सकता है |
P(X=3)=P [एक संख्या 3 तथा अन्य दो संख्या 3 से कम]
`=(6)/(120)`
`[because" अनुकूल परिणाम "(1,2,3),(1,3,2),(2,3,1),(2,1,3),(3,1,2),(3,2,1)` है |]
P(X=4)=P[एक संख्या 4 तथा अन्य दो संख्या 4 से कम]
`=(""^(3)C_(2)xx3!)/(120)=(3xx6)/(120)=(18)/(120)`
[अन्य दो संख्याएँ `""^(3)C_(2)` प्रकार से चुनी जा सकती है तथा प्रत्येक संख्या का चुनाव (4 तथा अन्य दो) 3! प्रकार से व्यवस्थित किया जा सकता है |]
इसी प्रकार,
`P(X=5)=P" "`[एक संख्या 5 है तथा अन्य दो संख्याएँ 5 से कम है]
`=""^(4)C_(2)xx3!)/(120)=(6xx6)/(120)=(36)/(120)`
`P(X=6)=P" "`[एक संख्या 6 है तथा अन्य दो संख्याएँ 6 से कम है]
`=""^(5)C_(2)xx3!)/(120)=(10xx6)/(120)=(60)/(120)`
प्रायिकता बंटन निचे दिखाया गया है-

अब, बंटन का माध्य, `E(X)=Sigma X cdot P(X)`
`=3xx(6)/(120)+4xx(18)/(120)+5xx(36)/(120)+6xx(60)/(120)`
`=(18)/(120)+(72)/(120)+(180)/(120)+(360)/(120)=(630)/(120)=(21)/(4)`
और बंटन का प्रसरण `=Sigma(X^(2))-[E(X)]^(2)`
`=Sigma X^(2) P(X)-[E(X)]^(2)`
`=3^(2)xx(6)/(120)+4^(2)xx(18)/(120)+5^(2)xx(36)/(120)+6^(2)xx(60)/(120)-((21)/(4))^(2)`
`=(54)/(120)+(288)/(120)+(900)/(120)+(2160)/(120)-(441)/(16)`
`=(3402)/(120)-(441)/(16)=(3402xx2-441xx15)/(240)=(189)/(240)`