Question

दिखाएँ कि एक अवयव a वाले किसी समुच्चय पर परिभाषित सभी द्विआधारी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय तथा साहचर्य होते हैं तथा a तत्समक अवयव है और a , a का प्रतिलोम है।

Answer 1

माना कि `A={a}`
माना कि `**` , समुच्चय A पर एक द्विआधारी संक्रिया है।
चूँकि `**`, समुच्चय A पर द्विआधारी संक्रिया है, ` " " therefore a **a in A`
लेकिन A के केवल एक अवयव a है, ` " " therefore a **a =a`
इस प्रकार `a **a = a**a=a`
साथ ही `a**(a**a) = a**a=a " " [ because a ** a = a]`
तथा `(a**a)**a=a**a= a " "[because a **a=a]`
`therefore a **(a**a)=(a **a)**a`
पुनः `AA b in A, a **b = b**a=a " " [ because b in A rArr b =a` तथा `a**a=a]`
अतः a तत्समक अवयव है।
पुनः `a **a = a` ( तत्समक अवयव )
`therefore ` a का प्रतिलोम a है।