Question

एक गृहिणी दो प्रकार के भोज्यों X तथा Y को एक साथ इस प्रकार मिलाना चाहती है कि मिश्रण में विटामिन A, B तथा C की क्रमशः कम से कम 10, 12 तथा 8 इकाइयाँ विद्यमान हो

एक किलोग्राम भोज्य में विटामिन संयोजन निम्न प्रकार है

	विटामिन A	विटामिन B	विटामिन C
भोज्य x	1	2	3
भोज्य y	2	2	1

भोज्य X तथा Y के एक किलोग्राम की कीपत क्रमशः Rs 6 व Rs 10 है। इस प्रकार के भोज्य मिश्रण की न्यूनतम कीमत ज्ञात कीजिये।

Answer 1

माना गृहिणी ने मिश्रण में x किग्रा भोज्य X तथा y किग्रा ज्य Y की मात्रा मिलाई । अत: प्रश्नानुसार मिश्रा भोज्य में कुल न्यूनतम कीमत का उद्देश्य फलन

z = 6x + 10y …(1)

व्यवरो के लिये – विटामिन A के लिये मिश्रण में भोज्य X की x इकाई तथा भोज्य Y की 2y इकाई ली गई हैं। अत: प्रश्नानुसार x + 2y ≥ 10 ….(1)

विटामिन B के लिये मिश्रण में भोज्य X की 2x इकाई तथा भोज्य Y की 2y इकाई ली गई है।

अत: प्रश्नानुसार 2x + 2y ≥ 12 ….(1)

विटामिन B के लिये मिश्रण में भोज्य X की 2 इकाई तथा भोज्य Y की 2y इकाई ली गई हैं।

अत: प्रश्नानुसार 2x +2y ≥ 12 …(2)

विटामिन C के लिये मिश्रण में भोज्य X की 3x इकाई तथा भोज्य Y की y इकाई ली गई हैं।

अत: प्रश्नानुसार, 3x + y ≥ 8 …(3)

तथा x ≥ 0, y ≥ 0 अतः समस्या के रैखिक प्रोग्रामन का गणितीय सूत्रीकरण निम्न निम्नतम Z = 6x + 10y व्यवरोध x + 2y ≥ 10

2x + 2y ≥ 12

3x + y ≥ 8

x ≥ 0, y ≥ 0

ध्यवरोधों के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में परिवर्तित करने पर x + 2y = 10

2x + 2y = 12 …(2)

3x + y = 8 …(3)

असमिका x + 2 ≥ 10 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –

रेखा x + 2y = 10 निर्देशी अक्षों के क्रमशः बिंदु A(10, 0) तथा B(0, 5) पर मिलती है। x + 2y = 10 के मानों के लिए सारणी

x	10	0
y	0	5

A(10, 0); B(0, 5) बिंदुओं A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 2(0) = 0 ≥ 10 असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत और होगा।

असमिका 2x + 2y ≥ 12 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –

रेखा 2x + 2y ≥ 12 निर्देशी अक्षों के बिंदु C(6, 0) तथा D(0, 6) पर मिलती है। 2x + 2y = 12

x	6	0
y	0	6

C(6, 0); D(0, 6) बिंदुओं C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 2(0) + 2(0) = 0 ≥ 12 असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत और होगा।

असमिका 3x + y ≥ 8 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –

रेखा 3x + y = 8 निर्देशी अक्षों के बिंदु E(83, 0) तथा F(0, 8) पर मिलती है। 3x + y = 8 के मानों के लिए सारी

x	8/3	0
y	0	8

बिंदुओं E तथा F को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) प्रतिस्थापित करने पर 3(0) + 0 = 0 ≥ 8 असमिका को सन्तुष्ट नहीं करते हैं। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर होगा।

x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –

चूँकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिका का हुल क्षेत्र प्रथम पाई में होगा।

रेखा x + 2y = 10 तथा 2x + 2y = 12 के प्रतिच्छेद बिंदु P(2, 4) के निर्देशांक x = 2 तथा y = 4 हैं। तथा रेखा 2x + 2y = 12 तथा 3x + y = 8 के प्रतिच्छेद बिंदु Q के निर्देशक Q(1, 5) में x = 1 तथा y = 5 है।

छायांकित क्षेत्र APQF उपरोवत असमिकाओं का हल क्षेत्र है। यह सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। अतः अपरिवद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं के निर्देशांक A( 10, 3), P(2, 4), Q(1, 5) तथा F(0, 8) है। बिंदु P(2, 4), x + 2y = 10 तथा 2x + 2 = 12 रेखाओं का प्रतिच्छेद बिन्दु है त रेखा 2x + 2y = 12 और रेखा 3x + y = 8 के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक Q(1, 5) है।

इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान निम्न तालिका में दिये गये है।

बिन्द	x निर्देशांक	y निर्देशांक	उदेश्य फ्लन Z=6x+10y
A	10	0	ZA = 6×10+10×0 = 60
P	2	4	ZP = 6×2+10×4 = 52
Q	1	5	ZQ = 6×1+10×5 = 56
F	0	8	ZF = 6×0+10×8 = 80

सारणी से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन का मान बिंदु P(2, 4) पर न्यूनतम 52 है। इसलिये गृहिणी के लिये भोज्य X की 2 किलोग्राम तथा भोज्य Y की 4 किग्रा से मिश्रण बनाने की नीति इष्टतम नीति होगी जिसकी न्यूनतम लागत Rs 52 होगी