दिया गया है: मान लीजिए कि एक ΔABC है जिसमें BC के समानांतर एक रेखा DE, AB को D पर और AC को E पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करने के लिए: DE दोनों पक्षों को समान अनुपात में विभाजित करता है।
\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
रचना: BE, CD को मिलाएँ और EF ⊥ AB और DG ⊥ AC बनाएँ।
प्रमाण: यहाँ,
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2}\times \) आधार x ऊँचाई
ΔADE का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\times AD\times EF\)
या
ΔADE का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2}\times AE\times DG\)
इसी प्रकार,
ΔBDE का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\times DB\times EF\)
ΔDEC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\times EC\times DG\)
\(\frac{ar(\Delta ADE)}{ar(\Delta BDE)} = \frac{\frac{1}{2}\times AD\times EF}{\frac{1}{2}\times DB\times EF}\)
\(\frac{ar(\Delta ADE)}{ar(\Delta BDE)} = \frac{AD}{DB}\ ..(1)\)
(2) और (4) से,
\(\frac{ar(\Delta ADE)}{ar(\Delta DEC)} = \frac{\frac{1}{2}\times AE\times DG}{\frac{1}{2}\times EC\times DG }\)
\(\frac{ar(\Delta ADE)}{ar(\Delta DEC)} = \) \(\frac{AE}{EC}\ ..(2)\)
चूँकि, ΔBDE और ΔDEC एक ही समानांतर DE और BC के बीच और एक ही आधार DE पर स्थित हैं।
∴ ar(ΔBDE) = ar(ΔDEC) ...(3)
(1), (2) और (3) से, हमें प्राप्त होता है,
\(\frac{AD}{BD} =\frac{AE}{EC}\)
अत: सिद्ध हुआ।
