Question

एक निर्माता कम्पनी पैडेस्टल लैंप और लकड़ी के शेड बनाती है। प्रत्येक के निर्माण में एक रगड़ने/काटने और एक स्प्रेयर की आवश्यकता पड़ती है। एक लैंप के निर्माण में 2 घण्टे रगड़ने/काटने और 3 घण्टे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है, जबकि एक शेड के निर्माण में 1 घण्टा रगड़ने/काटने और 2 घण्टे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है। स्प्रेयर की मशीन प्रतिदिन अधिकतम 20 घण्टे और रगड़ने/काटने की मशीन प्रतिदिन अधिकतम 12 घण्टे के लिए उपलब्ध है। एक लैंप की बिक्री पर Rs 5 और एक शेड की बिक्री पर Rs 3 का लाभ होता है। यह मानते हुए कि सभी निर्मित लैंप और शेड बिक जाते हैं, तो बताइए वह निर्माण की प्रतिदिन कैसी योजना बनाए कि लाभ अधिकतम हो?

Answer 1

माना पैडेस्टेल लैंप की संख्या = x और लकड़ी के शेड की संख्या = y दिये गये आँकड़ों से निम्न सारणी बनाते हैं

दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का गणितीय निरूपण इस प्रकार है–

Z = 5 + 3y का अधिकतम मान निकालिए—

जबकि 2x + y ≤ 12 …(i)

3x + 2y ≤ 20 …(ii)

x ≥ 0 …(iii)

y ≥ 0 …(iv)

उपरोक्त असमिकाओं के संगत समिकाओं का आलेख खींचते हैं। चित्र से स्पष्ट है कि संगत क्षेत्र OABC , (छायांकित)परिबद्ध है जिसके कोनीय बिन्दु O(0, 0), A(6, 0),B(4, 4), C(10, 10) हैं। अब हम इन कोनीय बिन्दुओं पर Z का मान ज्ञात करते हैं

अत: B(4, 4) पर Z = 32 अधिकतम है। इसलिए पैडेस्टेल लैंप की संख्या = 4, लकड़ी के शेड की संख्या = 4