Let,
\(f(x)=\sqrt\frac{1-cos\,2x}{1+cos\,2x}\)
\(=\sqrt\frac{(1-cos\,2x)(1+cos\,2x)}{(1+cos\,2x)^2}\)
\(=\sqrt\frac{(1-cos^2\,2x)}{(1+cos\,2x)^2}\)
\(=\sqrt\frac{sin^2\,2x}{(1+cos\,2x)^2}\)
\(=\sqrt\frac{sin^2\,2x}{(1+cos\,2x)^2}\)
\(=\frac{sin\,2x}{1+cos\,2x}\)
\(∴ f'(x)=\frac{d}{dx}\{\frac{sin2x}{1+cos2x}\}\)
\(=\frac{(1+cos2x)\frac{d}{dx}(sin2x)-sin2x\frac{d}{dx}(1+cos2x)}{(1+cos2x)^2}\)
\(=\frac{(1+cos2x)(2cos2x)-sin2x(-2sin2x)}{(1+cos2x)^2}\)
\(=\frac{2cos2x+2cos^22x+2sin^22x}{(1+cos2x)^2}\)
\(=\frac{2(1+cos2x)}{(1+cos2x)^2}\)
\(=\frac{2}{1+cos2x}\)
\(=\frac{2}{2\,cos^2x}\)
\(=sec^2x.\)
Alternative method.
\(f(x)=\sqrt\frac{1-cos\,2x}{1+cos\,2x}\)
\(f(x)=\sqrt\frac{2sin^2x}{2cos^2x}\)
\(f(x)=tan\,x\)
\(f'(x)=\frac{d}{dx}(tan\,x)\)
\(=\sec^2x.\)
