(i) ` ( 1 + x + x ^ 2) ^n = a _ 0 + a _ 1 x + a _ 2 x ^ 2 + … + a _ (2n) x ^ ( 2n ) = sum _ ( r = 0 ) ^ ( 2n ) a _ r x ^ r " " `…(i)
समीकरण (i ) में x के स्थान पर ` (1 ) /( x ) ` रखने पर
` ( 1 + ( 1 ) / ( x ) + (1 ) / ( x^ 2) ) ^n = a _ 0 + a _ 1 (( 1 ) / ( x ) ) + a _ 2 ((1 ) /( x ) ) ^ 2 + ... `
` rArr ( ( 1 + x + x ^ 2) ^ n )/( x ^ (2n)) = a _ 0 + a _ 1 ((1 ) /( x ) ) + a _ 2 ( ( 1 ) /( x ))^ 2 + ... `
` rArr (( 1 + x + x ^ 2 ) ^ n ) /( x ^ 2 n ) = a _ 0 + a _ 1 ( ( 1 ) /( x)) + a _ 2 ( ( 1 ) / ( x ) )^ 2 + ... `
` rArr ( 1 + x + x ^ 2) ^n + a _ 0 x ^ (2n ) + a _ 1 x ^ ( 2n - 1 ) + ... + a _ r x ^ ( 2n - r ) + ...." " `... (ii)
इसलिए समीकरण (i ) व (ii ) से
` sum _ ( r =0 ) ^ ( 2n ) a _ r x ^ r = sum _ ( r = 0 ) ^ (2n ) a _ r x ^ ( 2n - r ) `
दोनों ओर ` x ^ 2n - r ` के गुणांकों की तुलना करने पर,
` a _ ( 2n - r ) = a _ r `
या ` a _ r = a _ ( 2n - r ) " " ` जहाँ ` 0 lt r lt 2n `
(ii) समीकरण (i ) में x = 1 रखने पर,
` a _ 0 + a_ 1 + a _ 2 + ... + a _ r + ... + a _ ( 2n ) = 3 ^ n " " `...(iii)
भाग (i ) से ` a _ r = a _ ( 2n - r ) rArr a _ 0 = a _ ( 2n ) , a _ 1 = a _ ( 2n - 1 ) ... ` इत्यादि
` therefore 2 ( a _ 0 + a _ 1 + a _ 2 + ... + a _ ( n - 1 )) + a _ n = 3 ^n `
` rArr a _ 0 + a _ 1 + a _ 2 + ... + a _ ( n - 1) = ( 1 ) /( 2 ) ( 3 ^ n - a _n ) `
(iii) समीकरण (i ) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
` n ( 1 + x + x ^ 2 ) ^ ( n - 1) ( 1 + 2x ) = sum _ ( r = 0 ) ^ (2n ) r a _ x ^ ( r - 1 ) `
दोनों ओर ` ( 1 + x + x ^ 2 ) ` की गुणा करने पर तथा ` (1 + x + x^ 2) ^n = sum _ ( r = 0 ) ^ ( 2n ) a _ r x ^ r ` रखने पर
` n ( 2x + 1 ) sum _ ( r = 0 ) ^ 2n a_ r x ^ r = ( 1 + x + x ^ 2 ) sum _ ( r = 0 ) ^ 2n r a _ r x ^ (r - 1 ) `
दोनों ओर ` x ^ r ` के गुणांकों की तुलना करने पर
` n [ 2a _ ( r - 1 ) + a _ r ] = { ( r +1 ) a _ ( r + 1 ) + r a _ ( r ) + ( r - 1 ) a _ ( r - 1 ) } `
` rArr ( r + 1 ) a _ ( r + 1 ) = ( n - r ) a_ r + ( 2n - r + 1 ) a _ ( r - 1 ) " " ( 0 lt r lt 2n ) `
(iv) समीकरण (i ) में x के स्थान पर -x रखने पर
` ( 1 - x + x ^2 ) ^n = a _ 0 - a _ 1 x + a _ 2 x ^ 2 + ... + ( - 1 ) ^n a_ n x ^n + ... + a _ ( 2n ) x ^ ( 2n ) `
` = a _ (2n ) - a _ ( 2n - 1) * x .... - a _ 1 x ^ ( 2n -1) + a _ 0 x ^ ( 2n ) " " `...(iv)
समीकरण (i ) व (iv ) की गुणा करने पर
` [ ( 1 + x^ 2) ^ 2 - x^ 2]^n = ( 1 + x^ 2 + x^ 4 )^n `
` x ^ 2n ` के गुणांकों = ` a _0 ^ 2 - a _ 1 ^ 2 + a _ 2 ^ 2 - .... + a _ ( 2n ) ^ 2 `
` rArr ( x^ 2 ) ^n ` के गुणनक = ` a_ 0 ^ 2 - a _ 1 ^ 2 + a _ 2 ^ 2 - ... + a _ (2n) ^ 2 `
` x ^ 2 = t ` रखने पर
` a _ 0 ^ 2 - a _ 1 ^ 2 + ...+ a _ ( 2n ) ^ 2 = ( 1 + t + t ^ 2 ) ^ n ` के प्रसार में ` x ^ 2n ` का गुणांक ` = a _ n `
`rArr a _ 0 ^ 2 - a _ 1 ^ 2 + a _ 2 ^ 2 - a _ 3 ^ 2 + ... - a _ ( 2n - 1 ) ^ 2 + a _ ( 2n ) ^ 2 = a _ n `
(v) ` a _ ( 2n ) = a _ 0 , a _ ( 2n -1 ) = a _ 1 `
` therefore 2 [ a_ 0 ^ 2 - a _ 1 ^ 2 + ... + ( -1 ) ^ ( n - 1 ) a _ ( n - 1 ) ^ 2] + ( - 1 ) ^ n a _ n ^ 2 = a _ n `
` a _ 0 ^ 2 - a _ 1 ^ 2 + ... + ( - 1 ) ^ ( n - 1 ) a _ ( n - 1 ) ^ 2 = ( 1 ) /( 2 ) a _ n [ 1 - ( - 1 ) ^n a _ n ] `
(vi ) ` x = omega ` रखने पर तथा ` 1 + omega + omega ^ 2 = 0 ` का प्रयोग करने पर,
(जहाँ ` omega = - ( 1 ) / ( 2 ) - (isqrt3 ) /( 2 ) ` तथा ` omega ^ 2 = - ( 1 )/ ( 2 ) - (isqrt 3 )/ ( 2 ) ) `
` 0 = ( a _ 0 + a _ 3 + a _ 6 + ...) - omega ( a _ 1 + a _ 4 + ...) + omega ^ 2 ( a _ 2 + a _ 5 +...) `
` = A + B omega + C omega ^ 2 `
दोनों ओर से वास्तवीक व काल्पनिक मानो की तुलना करने पर
` A - ( B) /( 2 ) - (C) /( 2) = 0, (sqrt 3 ) /(2) (B - C) = 0 rArr A = B = C `
अब , x = 1 रखने पर, ` 3 ^n ` = सभी गुणांकों का योग = A +B + C
` rArr 3^n = 3A `
` rArr A = 3^(n - 1 ) = B = C `
