Question

यदि `(1+x)^(n)=C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+.....+C_(n)x^(n)`. साबित कीजिए कि
`C_(0).C_(r)+C_(1).C_(r+1)+…+C_(n-r).C_(n)=((2n)!)/((n+r)!(n-1)!)`

Answer 1

`(1+x)^(n)=C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+......+C_(n)x^(n)" "...(A)`
`:." "(x+1)^(n)=""^(n)C_(0)x^(n)+""^(n)C_(1)x^(n-1)+""^(n)C_(2)x^(n-2)+......+""^(n)C_(n)`
या `" "(x+1)^(n)=C_(0)x^(n)+C_(1)x^(n-1)+C_(2)x^(n-2)+......+C_(n)" "....(B)`
(A) और (B) को गुणा करने पर,
`(C_(0)+C_(1)x+C_(2)x^(2)+...+C_(r)x^(r)+...+C_(n)x^(n))`
`(C_(0)x^(n)+C_(1)x^(n-1)+...+C_(n-r)x^(r)+...+C_(n))=(1+x)^(2n)....(C)`
L.H.S. में `x^(n+r)` का गुणांक `=C_(0)C_(r)+C_(1)C_(r+1)+...+C_(n-r)C_(n)`
R.H.S. `=(1+x)^(2n)=""^(2n)C_(0)+""^(2n)C_(1)x+""^(2n)C_(2)x^(2)+...+""^(2n)C_(r)x^(r)+...+""^(2n)C_(2n)x^(2n)`
`:." "` R.H.S. में `x^(n+r)` का गुणांक `=""^(2n)C_(n+r)`
`:.` (C) के दोनों पक्षों से `x^(n+r)` का गुणांक बराबर करने पर,
`C_(0)C_(r)+C_(1)C_(r+1)+...+C_(n-r)C_(n)=""^(2n)C_(n+r)=((2n)!)/((n+r)!(n-r)!)`