सर्वप्रथम हम मान लेते है कि प्रदत कथन असत्य है अर्थात `sqrt(5)` एक परिमेय संख्या है |
मान लीजिए p तथा q ऐसे दो पूर्णाक है, जिनका अस्तित्व है कि
`sqrt(5)=(p)/(q)" "` (जहाँ p तथा q में कोई समापवर्तक नहीं है)
`=5(p^(2))/(q^(2))`
या `" "p^(2)=5q^(2)`
यहाँ संख्या 5, संख्या p को विभाजित करती है |
यहाँ एक और पूर्णाक r लीजिए जिसका अस्तित्व है |
कि `" "p=5r`
या `" "p^(2)=25r^(2)" ...(ii)"`
समी (i) तथा (ii) से,
`5q^(2)=25r^(2)`
या `q^(2)=5r^(2)`
यहाँ संख्या 5, संख्या q को विभाजित करती है | उपरोक्त से स्पष्ट है कि संख्या 5, संख्या p को भी विभाजित करती है | इसका अर्थ हुआ कि संख्या 5, संख्याओं p तथा q का समापवर्तक है | जबकि p तथा q में कोई समापवर्तक नहीं है |
अतः स्पष्ट है कि `sqrt(5)` एक परिमेय संख्या है, असत्य है |
अतः दिया गया कथन `sqrt(5)` एक अपरिमेय संख्या है, सत्य है |
