Question

एक पिंण्ड को पृथ्वी - तल से 10 किमी/ सेकण्ड के वेग से ऊपर की और प्रक्षेपित किया जाता है | वह कितनी ऊंचाई तक जायेगा ? पृथ्वी का द्रव्यमान `6.0 xx 10^(24)` किग्रा तथा त्रिज्या 6400 किमी है . `(G = 6.67 xx 10^(-11)` न्यूटन - मीटर`""^(2) //` किग्रा`""^(2)`)

Answer 1

माना पिंण्ड (दुव्यमान m) पृथ्वी - तल से h ऊचाई तक जाता है | तब पिंण्ड कि गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में वृध्दि
` U_(h) - U -(G M_(e)m)/((R_(e) + h)) - (-(GM_(e)m)/(R_(e))) = (GM_(e) m h)/(R_(e)(R_(e) + h))`
यह वृद्धि पिंण्ड को ऊपर की ओर प्रक्षेपित करते समय दी गई गतिज ऊर्जा से प्राप्त होगी | अत : यदि पिंण्ड को v वेग से भेजा जाये ,
तब ltbr`(1)/(2) mv^(2) = (G m_(e)mh)/(R_(e)(R_(e) + h))`
अथवा `R_(e)(R_(e)+ h)v^(2) = 2G M_(e) h`.
`therefore h = (R_(e)^(2)v^(2))/(2GM_(e) - R_(e)v^(2))`.
प्रश्नानुसार , `R = 6400` किसी = `6.4 xx 10^(6)` मीटर
v = 10 किमी / सेकण्ड = `10^(4)` मीटर /सेकण्ड , `M_(e)=6.0 xx 10^(24)` किग्रा तथा `G = 6.67 xx 10^(-11)` न्यूटन - मीटर`""^(2)//` किग्रा`""^(2)`|
`therefore h = ((6.4 xx 10^(6))^(2) xx (10^(4))^(2))/([{2xx(6.67xx 10^(-11)) xx (6.0 xx 10^(24))}-{(6.4 xx 10^(6)) xx (10^(4))^(2)}])`
` = ( 6.4 xx 6.4 xx 10 ^(20))/((2xx 6.67xx6.0xx10^(13)) - (6.4 xx 10 ^(14)) ) `मीटर
= ` (6.4 xx 6.4 xx 10^(7))/(16) = 2.56 xx 10 ^(7) ` मीटर
` 2.56 xx 10 ^(4) ` किमी |