माना दो सदिशों a तथा b को तिरिभुज OPQ की एक क्रम भुजाओ OP तथा PQ द्वारा प्रदर्शित किया ज्ञात है तथा उसका परिमाण OQ द्वारा प्रदर्शित किया गया है ।
(i) त्रिभुज के गुणों से, किसी त्रिभुज की एक भुजा, उसकी शेप दो भुजाओ के योग से सदैव काम होती है ।
`:।" "DeltaOPQ` में, `OQltOP+PQ`
अथवा `।a+b।lt।a।+।b।" ...(i)"`
यदि सदिश a व् b एक ही रेखा में समान दिशा में कार्यरत है तब इनके परिणामी सदिश का परिमाण,
`।a+b।=sqrt(a^2+b^2+2abcoctheta)`
`=sqrt(a^2+b^2""2bcostheta)" "(becausetheta=0^@)`
`=sqrt((a+b)^2)=(a+b)`
`।a+b।le।a।+।b।" ...(ii)"`
समिकरारन (i) व् (ii) से,
`।a+b।le।a।+।b।`
दोनों पक्ष समान होंगे जब दोनों सदिश a तथा b समान दिशा में एक ही रेखा के अनुदिश हों ।
(ii) त्रिभुज के गुणों से त्रिभुज की एक भुजा शेप दो भुजाओं के अंदर से अधितक होती है
अतः `DeltaOPQ` में,
`OQgt।OP-PQ।`
दाएं पैक्स में (PO-PQ) तृणात्मक हो सकता है, यदि `PQgtOP`
`:." "।a+b।gt।a।-।b।" ...(ii)"`
यदि दिए गए दोनों सदिश एक रेखा में पारस्पार विपरीत दिशा में कार्यरत हो, तब
`।a+b।=।a।-।b।" ...(iv)"`
यदि सदिश a व् b एक ही सरल रेखा में परस्पर विपरीत दिशा में कार्यरत है, तो समानता चिन्ह मान्य होगा ।
(iii) यदि PR सदिश -b को तथा सदिश a व् -b का परिणामी OR के द्वारा प्रदर्शित हो, तब
त्रिभुज के गुणों से, किसी त्रिभुज की एक भुजा उसकी शेप दो भुजाओ की लम्बाइयों के योग से काम होती है अतः `DeltaOPR` me,
`:." "ORltOP+PR`
`|a-b|lt|a|+|b|`
परन्तु `|-b|=|b|` क्योँकि किसी सदिश का परिमाण सदैव धनात्मक होता है
athava `|a-b|=|a|+|b|" ...(vi)"`
समिकरारन (v) व् (vi) से,
`|a-b|le|a|+|b|`
(iv) त्रिभुज के गुणों से, त्रिभु की एक भुजा इसकी शेष दो भुजाओ के अंतर् से अधिक होती है
`:." "DeltaOPR`में,
`ORgt|OP-PR|`
दये पैक्स में ( OP - PR ) का परिमाण लिया गया है, क्योँकि बाएं पैक्स में ( OP - PR ) तृणात्मक हो सकता है यदि
`PRgtOP`
`:." "|a-b|gt|a|-|-b|`
`|a-b|gt|a|-|b|" ...(vii)"`
यदि सदिश a तथा b एक ही सरल रेखा में सामान दिशा में है, तब
`|a-b|ge|a|-|b|" ...(viii)"`
समीकरण (vii) तथा (viii) से,
`|a-b|ge|a|-|b|`
दोनों पैक्स बराबर होंगे यदि सदिश a तथा b एक ही रेखा में समान दिशा में हों |
