Question

दोनों सिरों पर परिबद्ध किसी तानित डोरी पर अनुप्रस्थ विस्थापन को इस प्रकार व्यक्त किया गया है -
`y(x,t) = 0.06sin ((2pi)/(3)x) cos (120 pit)`
जिसमें xतथाy को मीटर तथा को सेकण्ड में लिया गया है । इसमें डोरी की लम्बाई 1.5 मीटर है , जिसकी संहति `3.0 xx 10^(-2)` किग्रा है । निम्नलिखित का उत्तर दीजिए -
(i) यह फलन प्रगामी तरंग अथवा अप्रगामी तरंग में से किसे निरूपित करता है ?
(ii) इसकी व्याख्या विपरीत दिशाओं में गमन करती दो तरंगों के अध्यरोपण के रूप में करते हुए प्रत्येक तरंग की तरंगदैर्ध्य आवृत्ति तथा चाल ज्ञात कीजिए ।
(iii) डोरी में तनाव ज्ञात कीजिए ।

Answer 1

दी गई समीकरण `y (x,t) = 0.06 sin ((2pi)/(3) x) cos (120pit)` निम्न रूप में है -
`y (x,t) = 2a sin kx cos omegat`
अतः यह अप्रगामी तरंग है ।
(ii) दो तरंगे जो अप्रगामी तरंग उत्पन्न करती है ।
`y (x,t)= 2a sin kx cos omegat`
इन तरंगों के अध्यारोपण से,
`y_(1)(x,t) = a sin (omegat - kx)`
`y_(2) (x,t) = a sin (omegat + kx)`
ज्ञात है - `y(x,t) = 0.06 sin ((2pi)/(3)) xx cos (120 pit)`
अथवा `k = (2pi)/(lambda) = (2pi)/(3)`
अथवा `lambda= 3` मीटर
`omega = 120 pi` रेडियन/सेकण्ड
कोणीय आवृत्ति `omega = 2 piv`
अथवा `v= (omega)/(2pi) = (120 pi)/(2pi)`
`v = 60 Hz`
तरंग वेग `upsilon = v lambda`
`= 60 xx 3 = 180` मीटर/सेकण्ड
तथा `y_(1) = 0.03 sin (120 pi t - (2pi)/(3) x)`
`y_(2) = 0.03 sin (120 pit + (2pi)/(3) x)`
(iii) तरंग की चाल `v = sqrt(T/mu)`
एकांक लम्बाई का द्रव्यमान `mu` = द्रव्यमान/लम्बाई
`= (3.0)/(1.5) xx 10^(-2)`
`= 2 xx 10^(-2)` किग्रा/मीटर
`:. T = upsilon^(2)mu`
जहाँ, `upsilon = 180` मीटर/सेकण्ड
`= (180)^(2) xx 2 xx 10^(-2)`
`= 648` न्यूटन