प्रशानुसार `vecr.(hati+hatj+hatk)=1 " "...(1)`
तथा `vecr.(2hati+3hatj-hatk)+4=0" "...(2)`
माना `vecr.xhati+yhatj+zhatk` तब समीकरण (1) व (2) से
`vecr.(hati+hatj+hatk)=1`
`rArr (xhati+yhatj+zhatk)(hati+hatj+hatk)=1`
`rArr x+y+z-1=0 " "....(3)`
व `vecr.(2hati+3hatj-hatk)+4=0`
`rArr (xhati+yhatj+zhatk)(2hati+3hatj-hatk)4=0`
`rArr 2x+3y-z+4=0 " "...(4)`
अब दिये गये समतलों की प्रतिच्छेद रेखा से जाने वाले समतल का समीकरण
`(x+y+z)-1)+lambda(2x+3y-z+4)=0`
जहाँ `lambda` एक वास्तविक संख्या है।
`rArr (1+2lambda)x+(1+3lambda)y+(1-lambda)z+(1+4lambda)=0 " "...(5)`
`:.` समतल के दिक् अनुपात `(1+2lambda),(1+3lambda),(1-lambda)` तथा x-अक्ष के दिक् अनुपात `(1,0,0)` है।
`rArr 1xx(1+2lambda)0xx(1+3lambda)+0xx(1-lambda)=0`
`rArr 1+2lambda=0`
`rArr lambda=-(1)/(2)`
`lambda` का यह मान समीकरण (5) में रखने पर
`(1-1)x+(1-(3)/(2))y+(1+(1)/(2))z+(-1-2)=`
`rArr (-y)/(2)+(3z)/(2)-3=0`
`rArr y-2z+6=0` यही समतल की अभीष्ट समीकरण है।
