Question

Find the Inverse? \[ A=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right] \quad A^{-1}=? \]

Answer 1

We have A = IA

\(\begin{bmatrix}2&1&1\\3&2&1\\2&1&2\end{bmatrix}=\) \(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)A

Applying R₃ → R₃ — R₁

R₂ → 2R₂ — 3R₁

\(\begin{bmatrix}2&1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}=\)\(\begin{bmatrix}1&0&0\\-3&2&0\\-1&0&1\end{bmatrix}\)A

Applying R₂ → R₂ + R₃

\(\begin{bmatrix}2&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\)\(\begin{bmatrix}1&0&0\\-4&2&1\\-1&0&1\end{bmatrix}\)A

Applying R₁ → R₁ — R₂ — R₃

\(\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\) \(\begin{bmatrix}6&-2&-2\\-4&2&1\\-1&0&1\end{bmatrix}\)A

Applying R₁ → \(\frac{R_1}2\)

\(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\)\(\begin{bmatrix}3&-1&-1\\-4&2&1\\-1&0&1\end{bmatrix}\)A

Hence A^-1 = \(\begin{bmatrix}3&-1&-1\\-4&2&1\\-1&0&1\end{bmatrix}\)