Let θ = 18°
∴ 5θ = 90°
∴ 2θ + 3θ = 90°
∴ 2θ = 90° – 3θ
∴ sin 2θ = sin (90° – 3θ)
∴ sin 2θ = cos 3θ
∴ 2 sin θ cos θ = 4 cos3 θ – 3 cos θ
∴ 2 sin θ = 4 cos2 θ – 3 …..[∵ cos θ ≠ 0]
∴ 2 sin θ = 4 (1 – sin2 θ) – 3
∴ 2 sin θ = 1 – 4 sin2 θ
∴ 4 sin2 θ + 2 sin θ – 1 = 0
∴ sin θ = \(\frac{-2±\sqrt{4+16}}{8}\)
=\(\frac{-2±2\sqrt5}{8}\)
=\(\frac{-1±\sqrt5}{4}\)
Since, sin 18° > 0
∴ sin 18°=\(\frac{\sqrt5-1}{4}\)