Question

If 6^{3 - 4x} 4^{x + 5} = 8 (Given log₁₀2 = 0.301 and log₁₀3 = 0.477), then which one of the following is correct?
1. 0 < x < 1
2. 1 < x < 2
3. 2 < x < 3
4. 3 < x < 4

Answer 1

Correct Answer - Option 2 : 1 < x < 2

Given:

63 - 4x 4x + 5 = 8 

Concept:

a^m⋅aⁿ = a^{m + n}

\(\rm {a^m\over a^n}\) = a^{m - n}

(a⋅b)ⁿ = aⁿ⋅bⁿ

log a^b = b⋅log a

Calculation:

Given: 63 - 4x 4x + 5 = 8 

⇒ 3^{3 - 4x}⋅ 2^{3 - 4x}⋅ 2^{2x + 10} = 2³                                         (∵(a⋅b)n = an⋅bⁿ)

⇒ 33 - 4x⋅ 23 - 4x + 2x + 10 = 2³                                          (∵am⋅an = a^{m + n})

⇒ 33 - 4x⋅ 2^{13 - 2x} = 2³

⇒ 3^{3 - 4x} = \(\rm {2^3\over {2^{13\ -\ 2x}}}\)

⇒ 3^{3 - 4x} = 2^{3 - (13 - 2x)}                                                     (∵\(\rm {a^m\over a^n}\) =  a^{m - n})

⇒ 3^{3 - 4x} = 2^{2x - 10}

Taking log both side

⇒ log (3^{3 - 4x}) = log (2^{2(x - 5)})

⇒ (3 - 4x)⋅log 3 = 2(x - 5)⋅log 2                                     (∵ log ab = b⋅log a)

⇒ (3 - 4x)(0.477) = 2(x - 5)(0.301)

⇒ 1.4313 - 1.9084x = 0.602x - 3.010

⇒ 1.4313 + 3.010 = 0.602x + 1.9084x

⇒ 4.4413 = 2.5104x

⇒ x = \(\rm {4.4413\over 2.5104}\) 

⇒ x = 1.7692

∴ The value of x lies in between 1 < x < 2.