Question

If sin x + a cos x = b, then |a sin x - cos x| is:
1. \(\rm \sqrt{a^2 + b^2 +1}\)
2. \(\rm \sqrt{a^2 - b^2 +1}\)
3. \(\rm \sqrt{a^2 + b^2 -1}\)
4. None of the above.

Answer 1

Correct Answer - Option 2 : \(\rm \sqrt{a^2 - b^2 +1}\)

Concept:

• sin2 θ + cos2 θ = 1.
• (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2.

 

Calculation:

sin x + a cos x = b

⇒ (sin x + a cos x)2 = b2

⇒ sin2 x + a2 cos2 x + 2 a sin x cos x = b2

⇒ (1 - cos2 x) + a2 cos2 x + 2a sin x cos x = b2            ... [Using sin2 x = 1 - cos2 x]

⇒ (a2 - 1) cos2 x + 2a sin x cos x = b2 - 1

⇒ 2a sin x cos x = b2 - 1 + (1 - a2) cos2 x            ... (1)

Let k = |a sin x - cos x|

⇒ k2 = (a sin x - cos x)2

⇒ k2 = a2 sin2 x + cos2 x - 2a sin x cos x

⇒ k2 = a2 (1 - cos2 x) + cos2 x - 2a sin x cos x            ... [Using sin2 x = 1 - cos2 x]

⇒ k2 = a2 + (1 - a2) cos2 x - 2a sin x cos x

⇒ k2 = a2 + (1 - a2) cos2 x - [b2 - 1 + (1 - a2) cos2 x]            ... [Using equation (1)]

⇒ k2 = a2 - b2 + 1

⇒ \(\rm k = \sqrt{a^2 - b^2 + 1}\).

∴ \(\rm |a \sin x-\cos x| = \sqrt{a^2 - b^2 + 1}\).