Question

∫[1/(tanx + cotx + secx + cosecx)]dx = __________ + c

(a) (1/2)(cosx – sinx) + (x/2)

(b) (1/2)(sinx – cosx) – (x/2)

(c) (1/2)(sinx + cosx) + (x/2)

(d) (1/2)(sinx – cosx) – (x/2)

Answer 1

The correct option (b) (1/2)(sinx – cosx) – (x/2)  

Explanation:

I = ∫[1/(tanx + cotx + secx + cosecx)] ∙ dx

= ∫[1/({(sinx + 1)/(cosx)} + {(cosx + 1)/(sinx)})]dx

= ∫[{1 (sinx ∙ cosx)}/(sin²x + sinx + cos²x + cosx)]dx

= ∫[(sinx ∙ cosx)/(1 + sinx + cosx)]dx

= ∫[{sinx cosx(sinx + cosx – 1)}/{(sinx + cosx + 1)(sinx + cosx – 1)}]dx

= ∫[{sinx cosx(sinx + cosx – 1)}/{(sinx + cosx)² – 1}]dx

= ∫[{sinx cosx(sinx + cosx – 1)}/(2sinx cosx)]dx

= (1/2)[∫sinxdx + ∫cosxdx – ∫1 ∙ dx] = (1/2)(sinx – cosx) – (x/2) + c