Question

3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केन्द्र से 7 सेमी की दूरी पर स्थित दो बिन्दु Pऔर ए लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएं खींचिए। औचित्य भी दीजिए।

Answer 1

दिया है : 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त है जिसका केन्द्र O है। AOB वृत्त का व्यास है जिसको इस प्रकार बिन्दुओं P व Q तक बढ़ाया गया है कि वृत्त के केन्द्र O से प्रत्येक बिन्दु P व Q की दूरियाँ OP व OQ, 7 सेमी हैं।

रचना के चरण :

• O केन्द्र वाला 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
• वृत्त का व्यास AB खींचकर, इसे दोनों ओर क्रमशः P व Q तक इस प्रकार बढ़ाया कि OP = OQ = 7 सेमी।
• OP और 00 के लम्ब समद्विभाजिक खींचे जो OP को M₁, तथा OQ को M₂, पर काटते हैं।
• बिन्दु M₁, को केन्द्र मानकर MO त्रिज्या का वृत्त खींचा जो O केन्द्र वाले वृत्त को T₁, व T₂, पर स्पर्श करता है।
• PT₁, और PT, को मिलाया।
• बिन्दु M₂, को केन्द्र मानकर M₂O त्रिज्या का वृत्त खींचा जो O केन्द्र वाले वृत्त को S₁, व S₂, पर स्पर्श करता है।
• QS₁, और QS₁, को मिलाया। अतः PT₁, PT₂, OS₁, और QS₂, अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

औचित्य (उपपत्ति) : केन्द्र 0 वाले वृत्त की त्रिज्याएँ OT₁, OT₂, OS₁ व OS₂, खींची।

∵ हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।

अतः ∠OT,P = ∠OT,P = 90°

तथा ∠OS,Q = ∠OS,Q = 90°

∵ केन्द्र M, वाले वृत्त में ∠OT₁P व ∠OT₂P अर्द्धवृत्तों में स्थित कोण हैं।

∴ ∠OT₁P व ∠OT₂P समकोण हैं जो क्रमशः त्रिज्याओं OT₁, व OT₂, के सिरों T₁, व T₂, पर स्थित हैं।

∴ PT₁, व PT₂, केन्द्र O वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। इसी प्रकार, OS₁, व QS₂, भी केन्द्र O वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।