Question

If a sin θ + 6 cos θ = c, then prove that a cos θ – b sin θ = √a² + b² − c².

Answer 1

We have, a sin θ + b cos θ = c

⇒ (a sin θ + b cos θ)² = c²

⇒ a² sin² θ + b² cos² θ + 2ab sin θ cos θ = c²

⇒ a²(1 – cos² θ) + b²(1 – sin² θ) + 2ab sin θ cos θ = c²

⇒ a² – a² cos² θ + b² – b² sin² θ + 2ab sin θ cos θ = c²

⇒ – a² cos² θ – b² sin² θ + 2ab sin θ cos θ= – a² – b² + c²

⇒ a² cos² θ + b² sin² θ – 2ab sin θ cos θ = a² + b² – c²

⇒ (a cos θ – b sin θ)² = a² + b² – c²

⇒ a cos θ – b sin θ = \(\sqrt{a^2+b^2−c^2}\)