Question

निम्न रैखिक प्रोगामन समस्याओं को आलेखीय विधि से हल करो

निम्नतम Z = – 3x + 4y

व्यवरोध x + 2y ≤ 8

3x + 2y ≤ 12

तथा x ≥ 0, y ≥ 0

Answer 1

अवरोध के रूप में दी गई सभी असमिका को समीकरणों में बदलने पर,

x + 2y = 8 …(1)

3x + 2 = 12 …(2)

असमिका x + 2 = 8 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र—

रेखा x + 2y = 8 निर्देशी अक्षों को A(8, 0) तथा B(0, 4) बिंदुओं पर मिलती है।

x	8	0
y	0	4

A(8, 0), B(0, 4)

बिंदुओं A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं।
असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 2(0) = 0 < 8 असमिका सन्तुष्ट होती हैं। अतः असमिका को हल क्षेत्र मूल बिन्दु की ओर होगा।

असमिका 3r + 2y ≤ 12 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र–

रेखा 3x + 2y = 12 निर्देशी अर्को को क्रमश: C(4, 0) तथा D(0, 6) बिंदुओं पर मिलती है।

3x + 2y = 12 के मानों के लिए सारणी

x + 2y = 8 के मानों के लिए सारणी

x	4	0
y	0	6

C(4, 0), D(0, 6)

बिन्दु C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 3(0) + 2(0) = 0 < 12 असमिका सन्तुष्ट होती है। अत: असमिका का हल थक्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा । x > 0, y > 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –

चूंकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिकाओं x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र प्रथम पाद है।

छायांकित क्षेत्र QCEB उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का हल क्षेत्र है। छायांकित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं के निर्देशांक O(0, 0), C(4, 0), E(2, 3) तथा B(0, 4) है। जहाँ बिंदु E को दोनों रेखाओं।

x + 2y = 8 तथा 3x + 2y = 12 के प्रतिच्छेद से प्राप्त किया गया है। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान निम्न तालिका में दिये गये है।

बिन्द,	x निर्देशांक	y निर्देशांक	उद्देश्य फलन Z = 3x+4y
O	0	0	ZO = – 3(0)+4(0) = 0
C	4	0	ZC = – 3(4)+4(0) = -12
E	2	3	ZE = – 3(2)+4(3) = 6
B	0	4	ZB = – 3(0)+4(4) = 16

सारणी से स्पष्ट है कि बिंदु C(4, 0) पर फलन का मान निम्नतम है। अतः x = 4, y = 0 दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल है तथा निम्नतम मान – 12 है।