व्यवरोध के रूप में दी गई समिका x + y ≤ 4 को समीकरण में परिवर्तित करने पर
x + y = 4
असमिका x + y = 4 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 4 निर्देशी अक्षों को क्रमशः A(4, 0) तथा B(0, 4) बिंदुओं पर मिलती है।
x + y = 4 के मानों के लिए सारणी
A(4,0); B(0, 4)
बिंदुओं A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 ≤ 0 ≤ 4 असमिका को सन्तुष्ट करते हैं। अत: हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0
द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र चूंकि प्रथम पद का प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिकाओं x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र प्रथम पाद है।
छायांकित क्षेत्र OAB उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यही क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन संख्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। छायांकित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं के निर्देशांक O(0, 0), A(4, 0) तथा B(0, 4) हैं।
इन बिन्दुओं पर उद्देश्य फलन के मान निम्न तालिका में दिये गये हैं।
बिन्द, |
x निर्देशांक |
y निर्देशांक |
उद्देश्य फलन Z = 3x+4y |
O |
0 |
0 |
ZO = – 3(0)+4(0) = 0 |
A |
4 |
0 |
ZA = 3(4)+4(0) = 12 |
B |
0 |
4 |
ZB = 3(0)+4(4) = 16 |
सारणी से स्पष्ट है कि बिंदु (0, 4) पर
फलन का मान अधिकतम है। अतः x = 0, y = 4 पर दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल है तथा अधिकतम मान Z = 16 है।