Question

If A + B + C = 180°, then show that cos²A + cos²B + cos²C = 1 – 2 cosA cosB cosC.

Answer 1

= cos²A + cos²B – cos²C 

= cos²A – sin²B + cos²C + 1

= cos(A + B) cos(A – B) + cos²C + 1 

= cos(180° – C) cos(A – B) + cos²C + 1

= –cosC cos(A – B) + cos²C + 1 

= 1 – cosC [cos(A – B) – cosC] 

= 1 – cosC [cos(A – B) – cos(180° – (A + B))] 

= 1 – cosC [cos(A – B) + cos(A + B)] 

= 1 – cosC [2 cosA cosB]

= 1 – 2 cosA cosB cosC