Let us consider the LHS
2(sin6 x + cos6 x) – 3(sin4 x + cos4 x) + 1
As we know, (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 – ab)
Therefore,
2(sin6 x + cos6 x) – 3(sin4 x + cos4 x) + 1 = 2{(sin2 x)3 + (cos2 x)3} – 3{(sin2 x)2 + (cos2 x)2} + 1
= 2{(sin2 x + cos2 x) (sin4 x + cos4 x – sin2 x cos2 x} – 3{(sin2 x)2 + (cos2 x)2 + 2sin2 x cos2 x – 2sin2 x cos2 x} + 1
= 2{(1) (sin4 x + cos4 x + 2 sin2 x cos2 x – 3 sin2 x cos2 x} – 3{(sin2 x + cos2 x)2 – 2sin2 x cos2 x} + 1
As we know, sin2 x + cos2 x = 1
= 2{(sin2 x + cos2 x)2 – 3 sin2 x cos2 x} – 3{(1)2 – 2sin2 x cos2 x} + 1
= 2{(1)2 – 3 sin2 x cos2 x} – 3(1 – 2sin2 x cos2 x) + 1
= 2(1 – 3 sin2 x cos2 x) – 3 + 6 sin2 x cos2 x + 1
= 2 – 6 sin2 x cos2 x – 2 + 6 sin2 x cos2 x
= 0
= RHS
Thus proved.
