Question

Expand (a + b)⁴ – (a – b)⁴. Using this find the value of (√3 + √2)⁴ – (√3 – √2)⁴

Answer 1

By using binomial theorem,

(a + b)⁴ = ⁴C₀ a⁴ b⁰ + ⁴C₁ a³ b¹
+ ⁴C₂ a² b²+ ⁴C₃ ab³ + ⁴C₄ a⁰ b⁴

= ⁴C₀ a⁴ + ⁴C₁ a³ b¹ + ⁴C₂ a² b²
+ ⁴C₃ ab³ + ⁴C₄ b⁴ …. (1)

and (a – b)⁴ = ⁴C₀ a⁴ (-b)⁰+ ⁴C₁ a³ (-b)¹
+ ⁴C₂ a² (-b)² + ⁴C₃ a¹ (-b)³ + ⁴C₄ a⁰ (-b)⁴

= ⁴C₀ a⁴ – ⁴C₁ a³ b + ⁴C₂ a² b²
– ⁴C₃ ab⁴ + ⁴C₄ b⁴ …. (2)

From equation (1) and (2) we have,

(a + b)⁴ – (a – b)⁴

= [⁴C₀ a⁴ + ⁴C₁ a³ b +⁴C₂ a² b² + ⁴C₃ ab³ + ⁴C₄ b⁴]
– [⁴C₀ a⁴ – ⁴C₁ a³ b + ⁴C₂ a² b² –⁴C₃ ab³ + ⁴C₄ b⁴]

= ⁴C₀ a⁴ + ⁴C₁ a³ b + ⁴C₂ a² b² + ⁴C₃ ab³ + ⁴C₄ b⁴
– ⁴C₀ a⁴ + ⁴C₁ a³b – ⁴C₂ a²b² + ⁴C₃ ab³ – ⁴C₄ b⁴

= 2. ⁴C₁ a³ b + 2. ⁴C₃ ab³

= 2ab [⁴C₁ a² + ⁴C₃ b²]

= 2ab [4a² + 4b²]  [∴ ⁴C₁ = 4, ⁴C₃ = 4]

= 2ab (a² + b²)

Hence, (a + b)⁴ – (a – b)⁴ = 8ab (a² + b²)

Now, putting a= √3 and b = √2

(√3 + √2)⁴ – (√3 – √2)⁴

= 8 √3 × √2 [(√3)² + (√2)²]

= 8 √6 (3 + 2)

= 8 √6 × 5 – 40 √6

Hence (√3 + √2 )⁴ – (√3 – √2 )^4 = 40 √6