Question

Factorize the following expressions using a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) identity

(i) h³ + k²

(ii) 2a³ + 16

(iii) x³y³ + 27

(iv) 64m³ + n³

(v) r⁴ + 27p³r

Answer 1

(i) h³ + k³

Comparing h³ + k³ with a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) we have a = h, b = k

∴ h³ + k³ = (h + k)(h² – hk + k²)

(ii) 2a² + 16

(2 × a³) + (2 × 8) = 2(a³ + 8) = 2 (a³ + 2³)

∴ 2a³ + 16 = 2 (a³ + 2³)

Comparing with a³ + b³ we have a = a and b = 2

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

2(a³ + 2³) = 2[(a + 2) (a² – (a) (2) + 2²)] = 2[(a + 2) (a² – 2a + 4)]

2a³ +16 = 2 (a + 2) (a² – 2a + 4)

(iii) x³ y³ + 27 

= (xy)³ + 3³

Comparing with a³ + b³ we have a = xy ;b = 3

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

(xy)³ + 3³ = (xy + 3) ((xy)² – (xy) (3) + 3²) = (xy + 3) (x²y² – 3xy + 9)

∴ x³y³ + 27 = (xy + 3)(x²y² – 3xy + 9)

(iv) 64m³ + n³ 

= (4³m³) + n³

= (4m)³ + n³

Comparing this with a³ + b³ we have a = 4m; b = n

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

(4m)³ + n³ = (4m + n) [(4m)2 – (4m) (n) + n2]

= (4m + n) [4²m² – 4mn + n²]

= (4m + n) [ 16m² – 4mn + n²]

64m³ + n³ = (4m + n) (16m² – 4mn + n²)

(v) r³ + 27p³r 

= r (r³ + 27p³) = r [r³ + 3³p³]

Comparing r³ + (3p)³ with a³ + b³ we have a = r; b = 3p

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

r[r³ + (3p)³] = r[(r + 3p)(r² – r(3p) + (3p)²)]

= r[(r+ 3p) (r² – 3rp + 3²p²]

= r(r + 3p) (r² – 3rp + 9p²)

r⁴ + 27p³r = r(r + 3p) (r² – 3rp + 9p²)