Question

` ( 1 + x ) ^(n+ 1 ) ` का द्विपद प्रसार लिखिए यदि ` x = 8 ` | यह भी सिद्ध कीजिये कि ` 9 ^ ( n + 1 ) - 8n - 9 , 64 ` से विभाजित है, ` n in Z^ + `

Answer 1

` ( 1 + x ) ^( n + 1 ) = ""^ ( n + 1 ) C _ 0 + ""^ ( n + 1 ) C _ 1 x + ""^ ( n + 1 ) C _ 2 x ^ 2 + ""^ ( n+ 1 ) C _ 3 x^ 2 +… + ""^ ( n + 1 ) C _ ( n + 1 ) x ^ ( n + 1 ) `
` x = 8 ` रखने पर
` ( 1 + 8 ) ^ (n + 1 ) = ""^ ( n + 1) C _ 0 + ""^ ( n + 1 ) C_ 1 (8) + ""^ ( n + 1 ) C _ 2 ( 8 ) ^ 2 + ""^ (n + 1 ) C _ 3 (8 ) ^ 3 + ... + ""^ ( n + 1 ) C _ ( n + 1 ) ( 8 ) ^ ( n + 1 ) ` ... (i)
यहीं वांछित द्विपद प्रसार है |
अब समीकरण (i ) से
` 9 ^ ( n + 1 ) = 1 + ( n + 1 ) xx 8 + ""^ ( n + 1 ) C _ 2 ( 8 ) ^ 2 + ""^ (n + 1 ) C _ 3 ( 8 ) ^ 3 + ... + ""^ (n + 1 ) C _ (n + 1 ) (8) ^ (n + 1 ) `
` rArr 9 ^ ( n + 1) - 8n - 9 = 8^ 2 [ ""^ (n + 1 ) C _ 2 + ""^ ( n + 1 ) C _ 3 ( 8 ) + ""^ ( n + 1 ) C _ 4 (8 ) ^ 2 + ... + ""^ (n + 1 ) C _ ( n + 1 ) 8^ ( n - 1 ) ] `
` = 64 xx ` एक पूर्णांक
` rArr 9^( n + 1 ) - 8n - 9 ` संख्या 64 से विभाजित है |