Question

यदि `u_(1)=1,u_(2)=1` तथा `u_(n+2)=u_(n),n ge 1`
गणितीय आगमन सिद्धांत से सिद्ध कीजिये की `u_(n)=(1)sqrt(5)[(1+sqrt(5))/(2)]^(n)-(1-sqrt(5))/(2)^(n)` सभी `n ge 1` के लिए

Answer 1

हमे सिद्ध करना है की
`u_(n)=(1)/sqrt(5)[(1+sqrt(5))/(2)^(n)-(1-sqrt(5))/(2)^(n)]`
चरण 1 `u_(1)=1=(1)/sqrt(5)[(1+sqrt(5))/(2)-(1-sqrt(5))/(2)]`
`u_(2)=1/sqrt(5)[(1+sqrt(5))/(2)^(2)-(1-sqrt(5))/(2)^(2)]`
चरण 2 माना n=m के लिए परिणामी सत्य है
चरण 3 सिद्ध करना है की यह परिणामी n=m+1 की लिए सत्य है दिया है
`u_(n+2)-u_(n+1)+u_(n)`
`rarr u_(n+1)=u_(n)+u_(n-1)`
इसलिए `u_(m+1)=u_(m)+u_(m-1)`
`=(1)sqrt(5)[(1+sqrt(5))/(2)^(m)-(1-sqrt(5))/(2)^(m)]+(1)/sqrt(5)[(1+sqrt(5))/(2)^(m-1)-(1-sqrt(5))/(2)](m-1)`
`(1)/sqrt(5)[(1+sqrt(5))/(2)^(m-1)(6+2sqrt(55))/(4)-(s1-sqrt(5))/(2)^(m-1)(6-2sqrt(5))/(4)]`
`=(1)/sqrt(5)[(1+sqrt(5))/(2)^(m+1)-(1-sqrt(5))/(2)^(m+1)]`
इसलिए गणितीय आगमन सिद्धांत से यह निकृष्ठ निकलता है की परिणामी `n in N` के सभी मानो के लिए सत्य है