Question

सरल आवर्त गति करते किसी कण की गति का वर्णन दिए गये विस्थापन फलन द्वारा किया जाता है , `x(t)=A cos (omegat+phi)` यदि कण की आरम्भिक `(t=0)` स्थिति 1cm कम तथा उसका आरम्भिक `pi cm s^(-1)` है, तो कण का आयाम तथा आरम्भिक कला कोण क्या है ? कण की कोणीय आवृति `pi s^(-1)` है। यदि सरल आवर्त गति का वर्णन करने के लिए किज्या `(cos)` फलन के स्थान पर हम ज्या `(sin)` फलन चुने `x=b sin (omega+alpha)` तो उपरोक्त आरम्भिक प्रतिबन्धों में कण का आयाम तथा आरम्भिक कला कोण क्या होगा ?

Answer 1

(i) दी गई समीकरण है :
`x(t)=A cos (omega t+phi)" ".....(i)`
`t=0` पर `x(0)=1` सेमी `omega=pi "सेकण्ड"^(-2)`
`:. 1 =A cos (pixx0+phi)`
अथवा `A cos phi =1 " "...(ii)`
समीकरण (i) का t आपेक्ष अवकलन करने पर
`v=(dx)/(dt)=- A omega sin (omega t+phi)" "....(iii)`
पुनः `t=0` पर `v=pi, omega =pi`
`:. pi=-Axx pi sin(pixx0+phi)`
अथवा `A sin phi=-1 " "....(iv)`
समीकरण (ii) तथा (iv) का वर्ग जोड़ने पर
`A^(2)=2`
समीकरण (iv) तथा (ii) से भाग करने पर
`tan phi=-1`
अथवा `phi=tan^(-1)(-1)=(2pi-(pi)/(4))=(7pi)/(4)`
यदि `x=B sin (omega t+alpha)" "...(v)`तब
`t=0` पर `x=1` सेमी `omegas=pi"सेकण्ड"^(-1)`
`:.1=B sin (pixx0+alpha)`
अथवा `B sin alpha=1" "....(vi)`
समीकरण (v) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर
`v=(dx)/(dt)=B omega cos (omega t+ alpha)`
पुनः `t=0` पर `v=pi, omega pi`
`:. pi=B pi cos (pi xx0+alpha)`
अथवा `B cos alpha=1" "....(vii)`
समीकरण (vi) व (vii) का वर्ग करके जोड़ने पर
`B^(2)=2`अथवा`B=sqrt(2)`सेमी
भाग करने पर `tan alpha=1`
अथवा `alpha=(pi)/(4),(5pi)/(4)`