सरल आवर्त गति में किसी कण की गतिज ऊर्जा
`E_(k)=(1)/(2)mv^(2)`
एक आवर्तकाल में ओसत गतिज ऊर्जा
`(E_(k))_("ओसत")=(1)/(t)int_(0)^(T)(1)/(2)mv^(2)dt`
SHM विस्थापन `x=A sin omegat`
`v=(dx)/(dt)omega A cos omegat`
`(E_(k))_("ओसत")=(1)/(t)int_(0)^(T)(1)/(2)m omega^(2)cos^(2)omegat dt`
`=(1)/(2T)m omega^(2)A^(2)int_(0)^(T)((1+cos 2 omegat)/(2))dt`
`=(!)/(4T)m omega^(2)A^(2)[t+(sin 2omegat)/(2omega)]_(0)^(T)`
`(E_(k))_("ओसत")=(1)/(4T)m omega^(2)A^(2)(T-0)`
`=(1)/(4pi)momega^(2)A^(2)T`
`(E_(k))_("ओसत")=(1)/(4)m omega^(2)A^(2)" "....(i)`
हम जानते है SHM में स्थितिज ऊर्जा `=(1)/(2)kx^(2)`
`(PE)_("ओसत")=(1)/(2T)int_(0)^(T)kx^(2)dt`
SHM में यहाँ `T=2pisqrt((m)/(k))` या `T^(2)=4pi^(2)(m)/(k)`
या `k=m(4pi^(2))/(T^(2))=m((2pi)/(T^(2)))^(2)=m omega^(2)`
अतः `(PE)_("ओसत")=(1)/(2T)int_(0)^(T)m omega^(2)A^(2)sin^(2)omega tdt`
जहाँ `x =A sin omegat`
`=(1)/(2T)int_(0)^(T)m omega^(2)A^(2)((1-cos2 omegat)/(2))dt`
`:.cos 2 omega t=-2sin^(2)omegat`
`(PE)_("ओसत")=(1)/(4T)m omega^(2)A^(2)(t-(sin 2 omegat)/(2omega))`
`=(1)/(4T)m omega^(2)A^(2)(T)=(1)/(4)m omega^(2)A^(2)" "...(ii)`
अथार्त `(E_(k))_("ओसत")=(PE)_("ओसत")`
