Question

यदि a,b,c कोई तीन अशून्य असमतलीय सदिश है तथा निम्न सदिश तीन बिन्दुओं के स्थिति-सदिश है, तो सिद्ध कीजिये कि ये बिन्दु संरेखीय है-
(i) a, b तथा 3a - 2b
(ii) a-2b+3c, 2a+3b-4c तथा -7b+10c

Answer 1

(i) माना मूलबिन्दु O के सापेक्ष बिन्दुओं A, B, C के स्थिति-सदिश क्रमशः a, b तथा 3a - 2b है।
`vec(OA)=a, vec(OB)=b, vec(OC)=3a-2b`
`vec(AB)=vec(OB)-vec(OA)=b-a`
`vec(AC)=vec(OC)-vec(OA)=3a-2b-a=2a-2b`
`vec(AC)=-2(b-a)=-2vec(AB)`
`because vec(AC)` तथा `vec(AB)` समरेखीय है, यह केवल तभी सम्भव है जब तीनो बिन्दु एक रेखीय हो, A, B, C समरेखीय है।
(ii) माना मूलबिन्दु O के सापेक्ष बिन्दुओं A, B, C के स्थिति-सदिश क्रमशः `a-2b+3c,2a+3b-4c` तथा `-7b+10c` है।
`vec(OA)=a-2b+3c,vec(OB)=2a+3b-4c`
`vec(OC)=-7b+10c`
`vec(AB)=vec(OB)-vec(OA)`
`=(2a+3b-4c)-(a-2b+3c)=a+5b-7c`
तथा `vec(AC)=vec(OC)-vec(OA)`
`=(-7b+10c)-(a-2b+3c)=-a-5b+7c`
`=-(a+5b-7c)=-vec(AB)`
अतः `vec(AC)=-vec(AB)impliesvec(AC)=lambdavec(AB)` जहाँ `lambda=-1`
`because` सदिश `vec(AC)` और `vec(AB)` समरेख है, जोकि केवल तभी संभव है
अतः बिन्दु A, B, C समरेखीय है।