Question

If \(\frac{{2 - \sqrt 5 }}{{2 + \sqrt 5 }} = a\) and  \(\frac{{2 + \sqrt 5 }}{{2 - \sqrt 5 }} = b\) then, the value of  a² - b² is:
1. 12√5
2. -144√5
3. 62√5
4. 5√5

Answer 1

Correct Answer - Option 2 : -144√5

Given:

a = \(\frac{{2\; - \;\sqrt 5 }}{{2\; + \;\sqrt 5 }}\)

b = \(\frac{{2\; + \;\sqrt 5 }}{{2\; - \;\sqrt 5 }}\)

Formula Used: 

a² – b² = (a + b) (a – b)

(a + b)² = a² + b² + 2ab

(a – b)² = a² + b² – 2ab

Calculation:

a + b = \(\frac{{2\; - \;\sqrt 5 }}{{2\; + \;\sqrt 5 }}\) + \(\frac{{2\; + \;\sqrt 5 }}{{2\; - \;\sqrt 5 }}\)

⇒ a + b = \(\frac{{{{\left( {2\; - \;\sqrt 5 } \right)}^2}\; + \;{{\left( {2\; + \;\sqrt 5 } \right)}^2}}}{{\left( {2\; + \;\sqrt 5 } \right)\left( {2\; - \;\sqrt 5 } \right)}}\)

⇒ a + b = \(\frac{{4\; + \;5\; - \;4\sqrt 5 \; + \;4\; + \;5\; + \;\;4\sqrt 5 }}{{4\; - \;5}}\)

⇒ a + b = 18/(–1)

⇒ a + b = (–18)

a – b = \(\frac{{2\; - \;\sqrt 5 }}{{2\; + \;\sqrt 5 }}\) – \(\frac{{2\; + \;\sqrt 5 }}{{2\; - \;\sqrt 5 }}\)

⇒ a – b = \(\frac{{{{\left( {2\; - \;\sqrt 5 } \right)}^2}\; - \;{{\left( {2\; + \;\sqrt 5 } \right)}^2}}}{{\left( {2\; + \;\sqrt 5 } \right)\left( {2\; - \;\sqrt 5 } \right)}}\)

⇒ a – b = \(\frac{{4\; + \;5\; - \;4\sqrt 5 \; - \;\left( {4\; + \;5\; + \;4\sqrt 5 \;} \right)}}{{4\; - \;5}}\)

⇒ a – b = (–8√ 5 )/(–1)

⇒ a – b = 8√ 5 

a² – b² = (–18) × (8√5)

⇒ a² – b² = (–144√5)

∴ The value of a² – b² is –144√5