Correct Answer - Option 3 :
\(\dfrac{\sqrt{3}}{8}\)
Concept:
- Sin (A + B) + Sin (A - B) = 2 sin A cos B
- Sin (A + B) - Sin (A - B) = 2 cos A sin B
- Cos (A + B) + Cos (A - B) = 2 cos A cos B
- Cos (A - B) - Cos (A + B) = 2 sin A sin B
Calculation:
S = sin 20° sin 40° sin 80°
⇒ S = \(\rm 1\over2\) sin 40° (2 sin 80° sin 20°)
⇒ S = \(\rm 1\over2\) sin 40° [cos(80 - 20) - cos(80 + 20)]
⇒ S = \(\rm 1\over2\) sin 40° [cos 60 - cos 100]
⇒ S = \(\rm 1\over4\) sin 40° - \(\rm 1\over2\) sin 40 cos 100
⇒ S = \(\rm 1\over4\) sin 40° - \(\rm 1\over4\) (2 sin 40 cos 100)
⇒ S = \(\rm 1\over4\) sin 40° - \(\rm 1\over4\) [sin (100 + 40) - sin(100 - 40)]
⇒ S = \(\rm 1\over4\) sin 40° - \(\rm 1\over4\) [sin 140 - sin 60]
⇒ S = \(\rm 1\over4\) sin 40° - \(\rm 1\over4\) sin 140 + \(\rm 1\over 4\) sin 60
⇒ S = \(\rm 1\over4\) (sin 40° - sin 140) + \(\rm \sqrt3\over 8\)
⇒ S = \(\rm 1\over4\) [sin 40° - sin (180 - 40)] + \(\rm \sqrt3\over 8\)
∵ sin (180 - x) = sin x
⇒ S = \(\rm 1\over4\) (sin 40° - sin 40) + \(\rm \sqrt3\over 8\)
⇒ S = \(\boldsymbol {\rm \sqrt3\over 8}\)