निम्न रेखाओं के मध्य लघुत्तम दूरी ज्ञात कीजिए x - 1/2 = y + 1/3 = z और x + 1/3 = y - 2/1, z = 2 तथा लघुतम दूरी वाली रेखा का समीकरण भी ज्ञात कीजिए।

Question

निम्न रेखाओं के मध्य लघुत्तम दूरी ज्ञात कीजिए \( \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=z\) और \(\frac{x + 1}{3} =\frac{y - 2}{1}= z\) तथा लघुतम दूरी वाली रेखा का समीकरण भी ज्ञात कीजिए।

Answer 1

अतः रेखा (1) पर कोई बिंदु P(2r₁ + 1, 3r₁ – 1, r₁) तथा

रेखा (2) पर कोई बिंदु Q(3r₂ – 1, r₂ + 2, r₂ + 2)

तब रेखा PQ के दिक्-अनुपात

= 3r₂ – 2r₁ – 2, r₂ – 3r₁ + 3, 2 – r₁

PQ रेखा (1) के लम्बवत् हैं, इसलिए

a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0

2(3r₂ – 2r₁ – 2) + 3(r₂ – 3r₁ + 3) + 1(2 – r₁) = 0

9r₂ – 14r₁ = 7 …(3)

PQ रेखा (2) के लम्बवत् है।।

इसलिए a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0

3(3r₂ – 2r₁ – 2) + 1(r₂ – 3r₁ + 3) + 0(2 – r₁) = 0

10r₂ – 9r₁ – 3 = 0

समी. (3) व (4) को हल करने पर

r₁ = \(\frac{97}{59}\) , r₂ = \(\frac{105}{59}\)

r₁ व r₂ के ये मान बिन्दु P व Q में रखने पर