Question

If a cos θ − b sin θ = c, then a sin θ + b cos θ =

A. ± \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) 

B. ± \(\sqrt{ a^2 + b^2-c^2}\) 

C. ± \(\sqrt{c^2-a^2+b^2}\) 

D. None of these

Answer 1

Given: a cos θ – b sin θ = c 

To find: a sinθ + b cosθ 

Consider a cosθ – b sinθ = c 

Squaring both sides, we get 

(a cosθ – b sinθ)² = c² 

∵ (a – b)² = a² + b² – 2ab 

∴ a cos θ – b sin θ = c 

⇒ a² cos²θ + b²sin²θ – 2ab sinθcosθ = c² ……(i)

Now, 

∵ sin²θ + cos²θ = 1 

∴ sin²θ = 1 – cos²θ and cos²θ = 1 – sin²θ 

⇒ From (i), we have 

⇒ a²(1 – sin²θ) + b²(1 – cos²θ) – 2ab sin θ cos θ = c² 

⇒ a² – a² sin²θ + b² – b² cos²θ – 2ab sinθ cosθ = c² 

⇒ a² + b² – (a² sin²θ + b² cos²θ + 2ab sinθ cosθ) = c² 

⇒ – (a² sin²θ + b² cos²θ + 2ab sin θ cos θ) = c² – a² – b²

⇒ a² sin²θ + b²cos²θ + 2ab sinθcos θ = a² + b² – c²

⇒ (a sin θ)² + (b cos θ)² + 2 (a sin θ) (b cos θ) = a² + b² – c² 

⇒ (a sin θ + b cos θ)² = a² + b² – c²

⇒ a sin θ + b cos θ = \(±\sqrt{a^2+b^2-c^2}\)