Question

If Sec θ + Tan θ = a; where 0° < θ < 90° then find the value of Sin θ
1. 2a
2. 2a/(a2 - 1)
3. (a2 - 1)/(a2 + 1)
4. 2a/(a2 + 1)
5. (a2 +1)/(a2 - 1)

Answer 1

Correct Answer - Option 3 : (a2 - 1)/(a2 + 1)

Given:

Sec θ + Tan θ = a

Concept used:

Sec θ = 1/Cos θ 

Cos θ = Base/Hypotenuse

Tan θ = Sin θ/Cos θ 

Sin θ = Perpendicular/Hypotenuse

Tan² θ + 1 = sec² θ

Sec2 θ – Tan2 θ = 1

(Sec θ + Tan θ)(Sec θ – Tan θ) = 1

Sec θ – Tan θ = 1/(Sec θ + Tan θ))

Calculation:

Sec θ + Tan θ = a      ---(I)

⇒ Sec θ - Tan θ = 1/a      ---(II)

Adding (I) and (II);

2 Sec θ = a + (1/a)

⇒ 2/Cos θ = (a² + 1)/a

⇒ 1/Cos θ = (a2 + 1)/2a

⇒ Cos θ = 2a/(a2 + 1)

Putting this value in a right angled triangle;

Cos θ = Base/Hypotenuse

Using Pythagoras theorem;

(H)² = (B)² + (P)² ,

⇒ (a2 + 1)² = (2a)² + (P)² ,

⇒ (P)2 = (a2 + 1)2 - (2a)2 

⇒ (P)2 = a⁴ + 1 + 2a² - 4a²

⇒ (P)2 = a4 + 1 - 2a2 

⇒ (P)2 = (a2 - 1)2 

⇒ P = (a2 - 1)

Sin θ = Perpendicular/Hypotenuse

⇒ (a2 - 1)/(a2 + 1)

∴ The value of Sin θ is (a2 - 1)/(a2 + 1)