निम्नलिखित फलनों के लिए रोले की प्रमेय की सत्यता की जाँच कीजिए (a) f(x) = e^x (sin x – cos x), x ∈ [π/4,5π/4]

Question

निम्नलिखित फलनों के लिए रोले की प्रमेय की सत्यता की जाँच कीजिए

(a) f(x) = e^x (sin x – cos x), x ∈ \([\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]\)

(b) f(x) = (x – a)^m (x – b)ⁿ, x ∈ [a, b], m, n ∈ N

(c) f(x) = |x|, x ∈ [-1, 1]

(d) f(a) = x² + 2x – 8, x ∈ [- 4, 2]

(e)

\(f(x) = \begin{cases} x^2\,+1&0≤x≤1\\3-x&1<x ≤2\end{cases}\)

(f) f(x) = [x], x ∈ [-2, 2]

Answer 1

(a) दिया हुआ फलन

f(x), x में बहुपदीय होने के कारण सर्वत्र अवकलनीय तथा सतत

∴ f(x), [π/4, 5π/4] में सतत तथा (π/4, 5π/4) में अवकलनीय है। तथा f(π/4)

f(5π/4) = e^5π/4 (sin 5π/4 – cos 5π/4) = 0

f(π/4)= f(5π/4) = 0

इस प्रकार से अन्तराल [π/4, 5π/4] में f(x) के लिए रौले के प्रमेय के सभी प्रतिबन्ध संतुष्ट हो जाते हैं।

⇒ c ∈ [π/4,5π/4] का अस्तित्व है, जोकि f'(c) = 0 को संतुष्ट करता है।

अब (i) से,

f'(x) = e^x (cos x + sin x) + (sin x – cos x).e^x

f'(x) = e^x (cos x + sin x + sin x – cos x)

इसी प्रकार

e^c 2 sin c = 0

⇒ 2 sin c = 0

⇒ sin c = 0

⇒ c = π

∴ c = π ∈ (π/4,5π/4), f'(c) = 0 को संतुष्ट करते हुए इस प्रकार से रोले की प्रमेय सत्यापित हो जाती है।

(b) f(x) = (x – a)^m (x – b)ⁿ, x ∈ [a, b], m, n ∈ N यहाँ (x – a)^m तथा (x – b)ⁿ दोनों बहुपद फलन हैं। यदि इनका विस्तार करके गुणनफल किया जाए तो (m + n) घात का एक बहुपद प्राप्त होगा। एक बहुपद फलन सर्वत्र सतत होता है। अत: फलन f(x) भी अन्तराल [a, b] में सतत है। बहुपद फतन अवकलनीय भी होता है।

∴ f’ (x) = m(x – a)^m-1 (x – b)ⁿ + n(x – a)^m (x – b)^n-1

= (x – a)^m-1 (x – b)^n-1 x [m(x – b) + n(x – a)]

= (x – a)^m-1 (x – b)^n-1 x + [(m+n)x – mb – na] जिसका अस्तित्व है।

∴ f(x) अन्तराला (a, b) में अवकलनीय है।

पुनः f(a) = (a = a)^m (a + b)ⁿ = 0

f(b) = (b – a)^m (b – b)ⁿ = 0

∴ f(a) = f(b) = 0

अत: रोले के प्रमेय के सभी प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होते हैं। तब (a, b) में कम-से-कम बिन्दु : का अस्तित्व इस प्रकार हैं कि f'(c) = 0.

f’ (c) = 0

⇒(c – a)^m-1 (c – b)^n-1 x [(m + n)c – mb – na] = 0

⇒ (m + n)c – mb – na = 0 [∵ (c – a)^m ≠ 0, (c – b)ⁿ ≠ 0]

⇒ (m + n)c = mb+ na

⇒ c =\(\frac{mb+na}{m+n}\)

जो कि (a, b) का एक अवयव है।

[क्योकि \(\frac{mb+na}{m+n}\) अन्तराल (a, b) को m:n के अनुपात में विभाजित करता है।]

∴ c = \(\frac{mb+na}{m+n}\) ∈ (a, b)

इस प्रकार है कि f’ (c) = 0.

अत: रोले की प्रमेय सत्यापित होती है।

(c) f(x) = |x|, x ∈ [-1, 1]

तय

चूँकि निरपेक्ष मान फलन सतत होता है परन्तु अवकलनीय नहीं होता है, क्योंकि x = 0 पर दायें पक्ष का अवकलज (Right hard derivative)

तथा x = 0 पर बायें पक्ष का अवकलज (Left hand derivative)

x = 0 पर, R.H.D. ≠ LH.D.

Rf’ (0) ≠ Lf’ (0)अर्थात् x = 0 पर फलन अवकलनौय नहीं हैं।

अत: अवकलनीयता का प्रतिबन्ध (-1, 1) के सभी बिन्दुओं पर सन्तुष्ट नहीं होता है।

∴ रोले के प्रमेय का सत्यापन नहीं हो सकता है।

(d) दिया हुआ फलन

f(x) = x² + 2x – 8, x ∈ [-4, 2]

स्पष्ट है कि फलन f(x) = x² + 2x – 8 अन्तराल [ – 4, 2] में सतत हैं तथा f’ (x) = 2x + 2, जोकि विवृत्त अन्तराल [- 4, 2] के प्रत्येक बिन्दु पर परिमित व विद्यमान है अर्थात् f(x) अन्तराल [ – 4, 2] में अवकलनीय हैं।

∵ f(- 4) = 0 = f(2)

⇒ f(- 4) = f(2)
उपरोक्त से फलन f(x), दिए गए अन्तराल में रोले प्रमेय तीनों प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करता है।

अब, f’ (c) = 0

2c + 2 = 0

2c = – 2

c = – 1

तथा – 1 ∈ (-4, 2)

c = – 1 ∈ (-4, 2)

इस प्रकार हैं कि

f’ (c) = 0

अत: c = – 1 के लिए रोले की प्रमेय सत्यापित होती हैं।

(e) दिया हुआ फलन

फलन f(x) अन्तराल [0, 2] में परिभाषित है। स्पष्ट है कि फलन f(x) अन्तराल [0, 2] में सतत है। अब हम इसके अवकलनीय होने की जाँच करेंगे।

अत: फलन x = 1 ∈ (0, 2) पर अवकलनीय नहीं है।

∵ यहाँ रोले प्रमेय का प्रतिबन्ध सन्तुष्ट नहीं होता है इसलिए दिए गए फलन के लिए रोले प्रमेय लागू नहीं होती है।

(f) दिया हुआ फलन

f(x) = [x], x ∈ [-2,2]

∵ फलन f(x) = [x], अन्तराल [- 2, 2] के सतत नहीं है, क्योंकि महत्त्व पूर्णाक फलन पृणूक बिन्दुओं पर न तो संतत होता है और न ही अवकलन, होता है।

∵ यहाँ रोले प्रमेय के प्रतिबन्ध सन्तुष्ट नहीं होते हैं इसलिए दिए गए फलन के लिए रोले प्रमैय लागू नहीं होता हैं।