Question

निम्नलिखित फलनों के लिए लाग्रांज मध्यमान प्रमेय की सत्यता की जाँच कीजिए

(a) f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3), x ∈ [0, 4]

(b) \( f(x) = \begin{cases} 1+x,x<2,&x∈[1,3]\\5-x,x≥ 2&\end{cases}\)

Answer 1

(a) दिया हुआ फलन

f(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3), x ∈ [0, 4]

अर्थात् f(x) = x³ – 6x² + 11x – 6, x ∈[0, 4]

स्पष्ट है कि f(x) = x³ – 6x² + 11x – 6 अन्तराल [0, 4] के सतत है तथा f’ (x) = 3x² – 12x + 11, जो कि अन्तराल (0, 4) में परिमित व विद्यमान है। अत: फलन f(x) अन्तराल (0, 4) में अवकलनीय है। फलतः फलन f(x) लोग्रांश मध्यमान प्रमेय के दोनों प्रतिबन्धों को संतुष्ट करता है।

इस प्रकार है कि

f(c) = \(\frac{f(4)-f(0)}{4-0}\)

इस प्रकार लाग्नज मध्यमान प्रमेय सत्यापित होती है।

(b) दिया हुआ फलन

स्पष्ट है कि फलन (1 + x) तथा (5 – x) बहुपद हैं। अत: f(x) अन्तराल [1,3] में सतत व अवकलनीय है केवल x = 2 को छोड़कर।

x = 2 पर सततता को जाँच

बाय सीमा = lim_x→2^– f(x)

= lim_x→2^– (1 + x)

⇒ 1 + 2 = 3

दायीं सीमा = lim_x→2⁺ f(x)

= lim_x→2⁺ (5 – x)

⇒ 5 – 2 = 3

तथा x = 2 पर फलन का मान

f(2) = 5 – 2 = 3,

अत: lim_x→2 f(x) = 3, फलन x = 2 पर मान सतत है।

x = 2 पर अवकलनीयता की जाँच

बायाँ पक्ष

∵ LHS [Lf'(2)] ≠ RHS [Rf'(2)]

अतः फलन f(x), x = 2 में अवकलनीय नहीं है।

∵ लाग्रांज मध्यमान प्रमेय की आवश्यक शर्त पूरी नहीं होती है।

अत: लाग्रांज मध्यमान प्रमेय सत्यापित नहीं होती हैं।