सिद्ध करें कि |a x b|^2 = |(a.a a.a) (b.b b.b)|.

Question

सिद्ध करें कि \(|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}=\left|\begin{array}{cc}\vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{a} \\ \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{b}\end{array}\right|.\)

Answer 1

प्रश्न से, 

\(R.H.S. =\left|\begin{array}{ll}\vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{a} \\ \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{b}\end{array}\right|\)

\( =(\vec{b} \cdot \vec{a}) \times(\vec{a} \cdot \vec{a})-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \times(\vec{a} \cdot \vec{b})\)

\(=\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot|\vec{a}|^{2}-|\vec{a}|^{2}-\left[(\vec{a})^{2} \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{b} \cdot \vec{a} \cdot|\vec{b}|^{2}\right]\)

\(=\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot|\vec{a}|^{2}-|\vec{a}|^{2}-\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{b} \cdot \vec{a} \cdot|\vec{b}|^{2}\)

\(=|\vec{a}|^{2} \times|\vec{b}|^{2}=|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}=\text { R.H.S. }\)