प्रश्न से,
\(R.H.S. =\left|\begin{array}{ll}\vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{a} \\ \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{b}\end{array}\right|\)
\( =(\vec{b} \cdot \vec{a}) \times(\vec{a} \cdot \vec{a})-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \times(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
\(=\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot|\vec{a}|^{2}-|\vec{a}|^{2}-\left[(\vec{a})^{2} \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{b} \cdot \vec{a} \cdot|\vec{b}|^{2}\right]\)
\(=\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot|\vec{a}|^{2}-|\vec{a}|^{2}-\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{b} \cdot \vec{a} \cdot|\vec{b}|^{2}\)
\(=|\vec{a}|^{2} \times|\vec{b}|^{2}=|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}=\text { R.H.S. }\)