Question

माना कि `A = {a, b, c}` तथा `B = {alpha, beta, gamma}` तथा फलन `f : {(alpha, gamma), (b, alpha), (c, beta)}` द्वारा प्रदत्त है। क्या f व्युत्क्रमणीय है? यदि हाँ तो `f^(-1)` निकालें तथा सत्यापित करें कि `f^(-1)of = I_(A)` तथा `fof^(-1) = I_(B)`, जहाँ `I_(A)` और `I_(B)` क्रमशः समुच्चय A तथा B पर तत्समक फलन है।

Answer 1

दिया है, `f = {(a, gamma), (b, alpha), c, beta)}`.

यहाँ f का परिसर `= {gamma, alpha, beta} = B rArr f` आच्छादक फलन है। स्पष्टतः A के भिन्न-भिन्न अवयवों का f के अधीन B में भिन्न-भिन्न प्रतिबिम्ब है, इसलिए f एकैकी है।
इस प्रकार f एकैकी आच्छादक यही और इसलिए यह व्युक्रमणीय है अर्थात `f^(-1)` का अस्तित्व है।
पुनः `f^(-1)(y) = x` यदि और केवल यदि `f(x) = y`, जहाँ `x in A, y in B`,
`:. f^(-1) = {(gamma, a), (alpha, b), (beta, c)}`
चूँकि `f : A rarr B` तथा `f^(-1) : B rarr A`, इसलिए
`f^(-1) of : A rarr A` तथा `fof^(-1) : B rarr B`
अब, `(f^(-1) of)(a) = f^(-1)(f(a)) = f^(-1)(gamma) = b`,
`(f^(-1)of)(b) = f^(-1)(f(b)) = f^(-1)(alpha) = b`,
`(f^(-1)of)(c) = f^(-1)(f(c)) = f^(-1)(beta) = c`,
साथ ही `(fof^(-1))(alpha) = f(f^(-1)(alpha)) = f(b) = alpha`,
`(fof^(-1))(beta) = f(f^(-1)(beta)) = f(c) = beta`,
`(fof^(-1))(gamma) = f(f^(-1)(gamma)) = f(a) = gamma`,
अतः `f^(-1) of = {(a, a), (b, b), (c, c)} = I_(A)`
तथा `fof^(-1) = {(alpha, alpha), (beta, beta), (gamma, gamma)} = I_(B)`